複数の条件を組み合わせて、より複雑な条件が成立するか成立しないかを判断する演算子になります。
演算子としては以下の3つになります。
かつ（ＡＮＤ）    &&　どちらも成立するとtrue
または（ＯＲ）    ||　 どちらかが成立するとtrue
ではない    ! 　異なる場合はtrue (この記号は左と右の条件ではなく最初にのみつきます)

例えば、a=5, b=6, c=7だったとすると
( (a != b) && (b>c) ) の場合は、(a != b) と、(b>c)という条件が　両方成立したときのみtrueになります。そのため、左は成立しますが、右が成立しないのでfalseになります。
( (a != b) || (b>c) ) の場合は、(a != b) と、(b>c)のうち、どちらかが成立すればtrueになります。そのため左が成立、右は不成立ですが、どちらかが成立しているのでtrueになります。
!(a == c)については、a==cは成立していない　ではないということになるのでtrueになります。